[转载]RSA加密算法详解

作者:hvjg2578
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概述

  本文旨在说明RSA加密算法的原理及实现,而其相关的数学部分的证明则不是本文内容。


RSA简介

  1977年,三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法,可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名,叫做RSA算法。从那时直到现在,RSA算法一直是最广为使用的"非对称加密算法"。毫不夸张地说,只要有计算机网络的地方,就有RSA算法。

                                                                                   -- 摘自网络


数学背景

  此部分旨在补充本文的完整性。如果说你已经了解,或是不想了解此部分内容。那么可以直接跳过此部分的阅读。

  虽说只是补充说明(只能是补充的原因是因为博主的数学也是比较差的-_-!!!),但是此部分的内容却是相当重要的。博主还是希望可以重新阅读一下此部分。
1.互质

  从小学开始,我们就了解了什么是质数。互质是针对多个数字而言的,如果两个正整数,除了1以外,没有其他公因子,那么就称这两个数是互质关系(注意,这里并没有说这两个数一定是质数或有一个为质数。比如15跟4就是互质关系)。以下有一些关于质数与互质的性质:

    质数只能被1和它自身整除
    任意两个质数都是互质关系
    如果两个数之中,较大的那个数是质数,则两者构成互质关系
    如果两个数之中,较小的那个数是质数,且较大数不为较小数的整数倍,则两者构成互质关系
    1和任意一个自然数是都是互质关系
    p是大于1的整数,则p和p-1构成互质关系
    p是大于1的奇数,则p和p-2构成互质关系

2.欧拉函数

  欧拉函数是求小于x并且和x互质的数的个数。其通式为:φ(x) = x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)。

  其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。看到这里是不是有一些头疼,太理论的东西的确不够具象。我们且不去理会后面公式计算与论证,因为已经超出本文的范围了。就前一句来说说吧,欧拉函数是求小于x并且和x互质的数的个数。这里我可以列举一个例子:

  令x = 16,那么x的所有质因数为:φ(16) = 16 * (1 - 1/2) = 8

  我们也可以枚举出所有比16小,且与16互质的数:1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

  现在也给出部分欧拉函数的性质:

    若n是素数p的k次幂,,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质
    欧拉函数是积性函数——若m,n互质,
    当n为奇数时,
    p是素数,,φ(p)称为p的欧拉值

  欧拉函数更多参考请见这里的链接。


3.模反元素

定义:如果两个正整数a和n互质,那么一定可以找到整数b,使得 ab-1 被n整除,或者说ab被n除的余数是1。

关于模反元素的求解,使用的是朴素的解法。如果读者想要更进一步了解的话,请自行搜索其他解法(比如:辗转相除法、欧几里德算法)。


RSA原理

  在RSA原理之前,我想还是有必要了解一下非对称加密算法的加密跟解密过程。下面就是一幅非称加密算法的流程图。

 

  在此可以看到,非对称加密是通过两个密钥(公钥-私钥)来实现对数据的加密和解密的。公钥用于加密,私钥用于解密。对于非对称的加密和解密为什么可以使用不同的密钥来进行,这些都是数学上的问题了。不同的非对称加密算法也会应用到不同的数学知识。上面也对RSA中使用的数学问题做了一个小小的介绍。现在就来看看RSA算法是怎么来对数据进行加密的吧,如下是一幅RSA加密算法流程及加密过程图。

 


RSA应用
1. 实例模型

  就以上图中的Bob和Alice来举例吧。

  现在Alice通过密钥生成器生成了一对密钥(公钥-私钥)。只把公钥对外公开了。并说,你有什么要跟我说的,就用模幂运算和公钥加密后发给我吧。

  此时,Bob已经获得了Alice发布的公钥。使用模幂运算对明文进行了加密,就把加密后的密文发送给了Alice。

  Alice获得Bob发来的密文并没有使用公钥对密文进行解密,并获得了明文。因为解密过程需要使用的密钥是私钥。


2. RSA算法实现

  下面的代码只是根据RSA算法的定义,使用Java开发语言实现。且这里只是展示了一些关键步骤,完整过程可以参见下面的源码下载文档。

   

public class RSA {    
        /**
         * 获得(公/私)密钥
         */
        public final Map<String, RSAKey> getCipherKeys() {
            ...
            int[] primes = getRandomPrimes(2);
            int modulus = modulus(primes[0], primes[1]);
            int euler = euler(primes[0], primes[1]);
            int e = cipherExponent(euler);
            int inverse = inverse(euler, e);
            publicKey.setExponent(e);
            publicKey.setModulus(modulus);
            privateKey.setExponent(inverse);
            privateKey.setModulus(modulus);
            ...
        }
        
        /**
         * 加密
         */
        public int encode(int plaintext, RSAPublicKey key) {
            return modularPower2(plaintext, key.getExponent(), key.getModulus());
        }
        
        /**
         * 解密
         */
        public int decode(int chipertext, RSAPrivateKey key) {
            return modularPower2(chipertext, key.getExponent(), key.getModulus());
        }
     
        // 随机生成count个素数
        private final int[] getRandomPrimes(int count) {
            ...
            try {
                primeLabels = FileReadUtils.readLines("./data/prime_table");
            } catch (IOException e) {
                e.printStackTrace();
            }
            for (int i = 0; i < primes.length; i++) {
                primes[i] = Integer.parseInt(primeLabels.get(indexs.get(i)));
            }
     
            return primes;
        }
     
        // 计算公共模数
        private final int modulus(int p, int q) {
            return p * q;
        }
     
        // 计算欧拉数
        private final int euler(int p, int q) {
            return (p - 1) * (q - 1);
        }
     
        // 计算加密指数
        private final int cipherExponent(int euler) {
            Random random = new Random();
     
            int e = 7;
            do {
                e = random.nextInt(euler - 1);
            } while (!isCoprime(e, euler) || e <= 1);
     
            return e;
        }
     
        // 判断两个数互素
        private final boolean isCoprime(int number1, int number2) {
     
            int sqrt = (int) Math.sqrt(Math.max(number1, number2));
            for (int i = 2; i <= sqrt; i++) {
                if (number1 % i == 0 && number2 % 2 == 0) {
                    return false;
                }
            }
     
            return true;
        }
     
        // 计算“模的逆元”
        // (d * e) ≡ 1 mod euler
        private final int inverse(int euler, int e) {
            ...
            while (flag) {
                q = m[2] / n[2];
                for (int i = 0; i < 3; i++) {
                    temp[i] = m[i] - q * n[i];
                    m[i] = n[i];
                    n[i] = temp[i];
                }
                if (n[2] == 1) {
                    if (n[1] < 0) {
                        n[1] = n[1] + euler;
                    }
                    return n[1];
                }
                if (n[2] == 0) {
                    flag = false;
                }
            }
            return 0;
        }
        
        // 模幂运算
        private final int modularPower(int base, int e, int modular) {
            int result = 1;
            do {
                if (isOdd(e)) {
                    result = (result * (base % modular)) % modular;
                    e -= 1;
                } else {
                    base = (base * base) % modular;
                    e /= 2;
                }
            } while (e > 0);
            
            result %= modular;
            
            return result;
        }
    }




RSA算法判别
RSA算法优点

    不需要进行密钥传递,提高了安全性
    可以进行数字签名认证

RSA算法缺点

    加密解密效率不高,一般只适用于处理小量数据(如:密钥)
    容易遭受小指数攻击
————————————————
版权声明:本文为CSDN博主「Q-WHai」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
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作者:Q-WHai
发表日期: 2016年2月29日
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来源:CSDN

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